Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=±1处取得极值，且f（1）=-1．
（Ⅰ）求常数a，b，c的值；
（Ⅱ）求f（x）的极值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，由函数x=±1处取得极值，且f（1）=-1，得到f'（1）=f'（-1）=0，f（1）=-1，代入x值后联立方程组求解a，b，c的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的a，b，c得到函数f（x）的具体解析式，求出导函数后解得导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，判断出导函数在各段内的符号，得到原函数的单调性，从而得到极值点，并求出极值．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=ax³+bx²+cx，得
f'（x）=3ax²+2bx+c，由已知有f'（1）=f'（-1）=0，f（1）=-1，
即：

f′(-1)=0 f′(1)=0 f(1)=-1

⇒

3a+2b+c=0 3a-2b+c=0 a+b+c=-1

，解得：a=

1

2

，b=0，c=-

3

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=

1

2

x3-

3

2

x，
∴f′(x)=

3

2

x2-

3

2

=

3

2

(x-1)(x+1)．
当x＜-1时，或x＞1时，f'（x）＞0，
当-1＜x＜1时，f'（x）＜0．
∴f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）内分别为增函数；
在（-1，1）内是减函数．
因此，当x=-1时，函数f（x）取得极大值f（-1）=

1

2

×(-1)3-

3

2

×(-1)=1；
当x=1时，函数f（x）取得极小值f（1）=

1

2

×13-

3

2

×1=-1．

点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了利用导数求函数的极值，训练了方程组的解法，是中档题．