题目内容
已知二次函数f（x） 对任意x∈R，都有f （1-x）=f （1+x）成立，设向量
=（sinx，2），
=（2sinx，
），
=（cos2x，1），
=（1，2）．
（1）分别求
•
和
•
的取值范围；
（2）当x∈[0，π]时，求不等式f（
•
）＞f（
•
）的解集．
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| c |
| d |
（1）分别求
| a |
| b |
| c |
| d |
（2）当x∈[0，π]时，求不等式f（
| a |
| b |
| c |
| d |
分析：（1）根据向量的坐标运算公式即可求得
•
和
•
的取值范围；
（2）由f （1-x）=f （1+x）可得f（x）图象关于x=1对称，结合f（x）为二次函数，
•
≥1，
•
≥1，即
•
，
•
均在二次函数f（x）对称轴右侧，可对其开口方向分类讨论，结合其对应的单调情况求不等式f(
•
)＞f(
•
)的解集．
| a |
| b |
| c |
| d |
（2）由f （1-x）=f （1+x）可得f（x）图象关于x=1对称，结合f（x）为二次函数，
| a |
| b |
| c |
| d |
| a |
| b |
| c |
| d |
| a |
| b |
| c |
| d |
解答：解：（1）
•
=2sin2x+1≥1
•
=2cos2x+2≥1
（2）∵f（1-x）=f（1+x）∴f（x）图象关于x=1对称
当二次项系数m＞0时，f（x）在（1，+∞）内单调递增，
由f（
•
）＞f（
•
）⇒
•
＞
•
，即2sin2x+1＞2cos2x+1
又∵x∈[0，π]∴x∈(
，
)
当二次项系数m＜0时，f（x）在（1，+∞）内单调递减，
由f（
•
）＞f（
•
）⇒
•
＞
•
，即2sin2x+1＜2cos2x+1
又∵x∈[0，π]∴x∈[0，
)∪(
，π]、
故当m＞0时不等式的解集为（
，
）；当m＜0时不等式的解集为 [0，
)∪(
，π]
| a |
| b |
| c |
| d |
（2）∵f（1-x）=f（1+x）∴f（x）图象关于x=1对称
当二次项系数m＞0时，f（x）在（1，+∞）内单调递增，
由f（
| a |
| b |
| c |
| d |
| a |
| b |
| c |
| d |
又∵x∈[0，π]∴x∈(
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
当二次项系数m＜0时，f（x）在（1，+∞）内单调递减，
由f（
| a |
| b |
| c |
| d |
| a |
| b |
| c |
| d |
又∵x∈[0，π]∴x∈[0，
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
故当m＞0时不等式的解集为（
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
点评：本题考查复合三角函数的单调性，关键在于确定好
•
≥1与
•
≥1后，对二次函数f（x）的开口分类讨论，从而利用其单调性解决问题，属于中档题．
| a |
| b |
| c |
| d |
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