Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为

π

2

，且图象上一个最低点为M(

2π

3

，-2)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递减区间；
（3）当x∈[

π

12

，

π

2

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

（1）由题意知，A=2，

1

2

T=

π

2

，故T=π，
∴ω=

2π

T

=2；
又图象上一个最低点为M（

2π

3

，-2）
∴2×

2π

3

+φ=2kπ-

π

2

，k∈Z，
∴φ=2kπ-

11π

6

=2（k-1）π+

π

6

（k∈Z），而0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

6

；
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

），…（5分）
（2）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）得，kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

（k∈Z）．
∴f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z…（9分）
（3）∵x∈[

π

12

，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

3

，

7π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴-1≤f（x）≤2．
即f（x）的值域为[-1，2]．…（14分）