Question

设f(x)=a

x

-lnx（a＞0）：
（1）若f（x）在[1，+∞）上递增，求a的取值范围；  
（2）求f（x）在[1，4]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求导函数，根据f（x）在[1，+∞）上递增，可得在[1，+∞）上，f′(x)=

a x -2

2x

≥0恒成立，由此可求a的取值范围； 
（2）由f′(x)=

a x -2

2x

，x∈[1，4]，分类讨论，确定函数的单调性，从而可求f（x）在[1，4]上的最小值．

解答：解：（1）求导函数，可得f′(x)=

a x -2

2x

∵f（x）在[1，+∞）上递增，
∴在[1，+∞）上，f′(x)=

a x -2

2x

≥0恒成立
∴在[1，+∞）上，a≥

2

x

∴a≥2
∴a的取值范围为[2，+∞）； 
（2）由f′(x)=

a x -2

2x

，x∈[1，4]
①当a≥2时，在x∈[1，4]上，f'（x）≥0，∴f_min（x）=f（1）=a（8分）
②当0≤a≤1时，在x∈[1，4]上，f'（x）≤0，∴f_min（x）=f（4）=2a-2ln2（10分）
③当1＜a＜2时，在x∈[1，

4

a2

]上f'（x）≤0，在x∈[

4

a2

，4]上f'（x）≥0
此时fmin(x)=f(

4

a2

)=2-2ln2+2lna
综上所述：fmin(x)=

2a-2ln20≤a≤1 2-2ln2+2lna1＜a≤2 a2＜a

（13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，合理分类是关键．