Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a1=2，2Sn=(n+1)an(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）设bn=

1

an•an+1

，求证：b1+b2+…+bn＜

1

4

．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}的前n项和为S_n，且a1=2，2Sn=(n+1)an(n∈N*)，推导出

an

an-1

=

n

n-1

，由此利用累加法能求出a_n．
（2）由a_n=2n，知bn=

1

an•an+1

=

1

2n•(2n+2)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，由此利用裂项求和法能够证明b1+b2+…+bn＜

1

4

．

解答：解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且a1=2，2Sn=(n+1)an(n∈N*)，
∴2S_n-1=na_n-1，∴2a_n=（n+1）a_n-na_n-1，
∴

an

an-1

=

n

n-1

，
∴

a2

a1

=

2

1

，

a3

a2

=

3

2

，

a4

a3

=

4

3

，…，

an

an-1

=

n

n-1

，
∴a_n=a₁×

a2

a1

×

a3

a2

×

a4

a3

×…×

an

an-1

=2×

2

1

×

3

2

×

4

3

×…×

n

n-1

=2n．
（2）∵a_n=2n，
∴bn=

1

an•an+1

=

1

2n•(2n+2)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴b1+b2+…+bn 
=

1

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

1

4

(1-

1

n+1

)＜

1

4

．
故b1+b2+…+bn＜

1

4

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意累加法和裂项求和法的合理运用．