Question

已知数列{a_n}的前n项的和S_n=n²+2n，数列{b_n}是正项等比数列，且满足a₁=2b₁，b₃（a₃-a₁）=b₁．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项的和．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接利用a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）即可求数列{a_n}的通项公式，（注意检验首项是否适合）；再代入a₁=2b₁，b₃（a₃-a₁）=b₁即可求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）先整理出数列{c_n}的通项公式，再对数列{c_n}利用错位相减法求和即可．
解答：解（1）数列{a_n}前n项的和S_n=n²+2n∴a_n=S_n-S_n-1=2n+1（n∈N，n≥2）（2分）
又a_n=S₁=3，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1（n∈N^*）（3分）
因为数列{b_n}是正项等比数列，，∴，（4分）
公比为，（5分）
数列{b_n}的通项公式为（6分）
（2）所以，设数列{c_n}的前n项的和为T_n…
+…+（2n-1）+（2n+1）]
…+

∴（12分）
点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．