题目内容

已知等比数列{a_n}的前n项和为 $数学公式$ ，数列{b_n}（b_n＞0）的首项为c，且前n项和T（n）满足 $数学公式$ （n≥2）．
（1）设 $数学公式$ ，求证数列{d_n}为等差数列，并求其通项公式；
（2）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（3）若数列{ $数学公式$ }前n项和为P（n），问P（n）＞ $数学公式$ 的最小正整数n是多少？．

解：（1）由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
数列{a_n}是等比数列得： $\text{[math]}$
所以c=1．（2分）
因为b_n＞0所以T（n）＞0 $\text{[math]}$ ，n≥2
即d（n）-d（n-1）=1，d（1）=1所以数列{d_n}为等差数列．d（n）=n，T（n）=n²（6分）
（2）∵b₁=1，b_n=n²-（n-1）²=2n-1，当n=1时，2n-1=b₁，∴b_n=2n-1
∵{a_n}是等比数列，得 $\text{[math]}$ ，c=1，
∴ $\text{[math]}$ （10分）
（3） $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （12分）
所以 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
所以适合条件的最小正整数n的值为112．（15分）
分析：（1）由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，再由{a_n}是等比数列得 $\text{[math]}$ ，由此能证明数列{d_n}为等差数列，并能求出其通项公式．
（2））由b₁=1，b_n=n²-（n-1）²=2n-1和{a_n}是等比数列， $\text{[math]}$ ，c=1，能导出b_n=2n-1， $\text{[math]}$ ．
（3） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此能求出适合条件的最小正整数n的值为112．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．