已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{4}{x}.x∈[-8.-4)}\\{-9-x.x∈[-4.1)}\\{x-\frac{8}{x}-3.x∈[1.8]}\end{array}\right.$．的值域=ax+5.x∈[-8.8].若对任意的x1∈[-8.8].总存在x0∈[-8.8].使得g(x0)=f(x1)成立.求实数a的取值范围� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{4}{x}，x∈[-8，-4）}\\{-9-x，x∈[-4，1）}\\{x-\frac{8}{x}-3，x∈[1，8]}\end{array}\right.$．
（1）求f（x）的值域
（2）设函数g（x）=ax+5，x∈[-8，8]，若对任意的x₁∈[-8，8]，总存在x₀∈[-8，8]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求实数a的取值范围．

分析（1）分析函数的单调性，进而逐段求出各段的值域，最后综合分段讨论的结果，可得f（x）的值域A；
（2）求出函数g（x）=ax+5，x∈[-8，8]的值域B，结合题意，将其化为A⊆B，可得实数a的取值范围．

解答解：（1）当x∈[-8，-4）时，函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$为增函数，此时f（x）∈[$-\frac{17}{2}$，-5），
当x∈[-4，1）时，函数f（x）=-9-x为减函数，此时f（x）∈（-10，-5]，
当x∈[1，8]时，函数f（x）=x-$\frac{8}{x}$-3为减函数，此时f（x）∈[-10，4]，
综上f（x）的值域A=[-10，4]，
（2）设函数g（x）=ax+5，x∈[-8，8]的值域B，
若对任意的x₁∈[-8，8]，总存在x₀∈[-8，8]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，
则A⊆B，
显然a=0时，不满足题意，
当a＞0时，函数g（x）=ax+5，x∈[-8，8]为增函数，B=[-8a+5，8a+5]，
则$\left\{\begin{array}{l}-8a+5≤-10\\ 8a+5≥4\\ a＞0\end{array}\right.$，解得：a≥$\frac{15}{8}$，
当a＞0时，函数g（x）=ax+5，x∈[-8，8]为减函数，B=[8a+5，-8a+5]，
则$\left\{\begin{array}{l}8a+5≤-10\\-8a+5≥4\\ a＜0\end{array}\right.$，解得：a≤-$\frac{15}{8}$，
综上所述，实数a的取值范围为a≤-$\frac{15}{8}$，或a≥$\frac{15}{8}$．