Question

数列{a_n} 的各项均为正数，a₁=t，k∈N^*，k≥1，p＞0，a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_n+k=6pⁿ
（1）当k=1，p=5时，若数列{a_n}是成等比数列，求t的值；
（2）当t=1，k=1时，设T_n=a₁+++…++，参照高二教材书上推导等比数列前n项求和公式的推导方法，求证：数列是一个常数；
（3）设数列{a_n}是一个等比数列，求t（用p，k的代数式表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，，得到等比数列（a_n}的公比q=5，由此能求出t的值．
（2）+…++，+…+，由此能够证明=a₁-6=-5．
（3），，数列{a_n}是一个等比数列，所以求出公比为p，由此能求出t．
解答：解：（1），
，…（2分）
设等比数列（a_n}的公比是q，
则•5，
∴q=5，…（4分）
n=1时，t+5t=30，∴t=5．…（5分）
（2）证明：+…++，
+…+，…（7分）
∴（1+）T_n=2a₁+++…++=，…（9分）
∴=a₁-6=-5．…（10分）
（3），
，…（11分）
数列{a_n}是一个等比数列，所以求出公比为p，…（13分）
∴t（p^n-1+pⁿ+…+p^n+k-1）=6pⁿ，…（15分）
当p=1时，t（k+1）=6，∴t=，…（16分）
当p≠1，且p＞0时，t=6pⁿ，
∴t=．…（17分）
点评：本题考查数列的综合运用，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，有一定的探索性，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．