Question

已知a∈R，函数f（x）=x²（|x|-a），求f（x）在区间[-2，2]上的最大值．

Answer 1

分析：利用函数是偶函数，只需研究当xx∈[0，2]的最大值即可，然后利用导数求函数的最值．

解答：解：∵f（x）=|x|³-a|x|²，
∴f（x）在[-2，2]上是偶函数，则只需研究x∈[0，2]，f（x）=x³-ax²的最大值．
∵f'（x）=3x²-2ax，令f'（x）=0得x=0或x=

2a

3

．
当

2a

3

≤0即a≤0时，f（x）在[0，2]上单调递增，
∴f（x）_max=f（2）=8-4a，
当

2a

3

≥2即a≥3时，f（x）在[0，2]上单调递减，
∴f（x）_max=f（0）=0，
当0＜

2a

3

＜2，即0＜a＜3时，f（x）在[0，

2a

3

]上单调递减，f（x）在[

2a

3

，2]上单调递增，
∴f(x)max=

8-4a，0＜a≤2 0，2＜a＜3

∴综上f(x)max=

8-4a，a≤2 0，a＞2

．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，判断函数是偶函数是解决本题的关键，然后利用导数进行求最值，注意要进行分类讨论．