Question

（2009•山东模拟）已知函数f（x）=log2

1+x

1-x

．
（1）求f（x）的定义域；
（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）用定义讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）令

1+x

1-x

＞0解得即可；
（2）利用奇偶性的定义判断；
（3）在定义域内设两变量x₁，x₂，且x₁＜x₂，比较f（x₁）与f（x₂）的大小关系，若f（x₁）＜f（x₂），则为增函数，若f（x₁）＞f（x₂），则为减函数．

解答：解：（1）

1+x

1-x

＞0解得：-1＜x＜1，所以，f（x）的定义域为{x|-1＜x＜1}．
（2）因为f（x）的定义域为{x|-1＜x＜1}且f（-x）=log2

1-x

1+x

=log2(

1+x

1-x

)-1=-log2

1+x

1-x

=-f（x）．
所以f（x）是定义域上的奇函数．
（3）设-1＜x₁＜x₂＜1，则f（x₁）-f（x₂）=log2

1+x1

1-x1

-log2

1+x2

1-x2

=log2

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

=log2

1+x1

1+x2

•

1-x2

1-x1

，因为-1＜x₁＜x₂＜1，所以0＜1+x₁＜1+x₂＜2，
0＜1-x₂＜1-x₁＜2，所以0＜

1+x1

1+x2

＜1，0＜

1-x2

1-x1

＜1，即0＜

1+x1

1+x2

•

1-x2

1-x1

＜1，
所以log2

1+x1

1+x2

•

1-x2

1-x1

＜0，f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在定义域（-1，1）上是增函数．

点评：本题考查函数定义域的求法、奇偶性和单调性的判断，都属基础题目，对于该类题目要熟练掌握其基本方法．