题目内容

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB．
（1）求cosB的值；
（2）若 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ，求a和c的值．

解：（1）由sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB，得sin（B+C）=3sinAcosB，
因为A、B、C是△ABC的三内角，所以sin（B+C）=sinA≠0，
因此 $\text{[math]}$ ．
（2） $\text{[math]}$ ，即ac=6，
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，所以a²+c²=12，
解方程组 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由条件得sin（B+C）=3sinAcosB，再由sin（B+C）=sinA≠0，可得 $\text{[math]}$ ．
（2）由两个向量的数量积的定义得到ac=6，再由余弦定理可得a²+c²=12，解方程组可求得a和c的值．
点评：本题考查两角和的正弦公式，余弦定理的应用，以及两个向量的数量积的定义．

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