题目内容

设A是三角形的一个内角，且
cos2A
cot
A
2
-tan
A
2
=-
3
20
，求sinA-cosA的值．
分析：将
cos2A
cot
A
2
-tan
A
2
中的切化弦，依题意可求得sin2A=-
3
5
，再判断sinA-cosA的符号，求得（SinA-cosA）2的值后开方即可．
解答：解：∵
cos2A
cot
A
2
-tan
A
2
=
cos2A
1+cosA
sinA
-
1-cosA
sinA
=
1
2
sinAcosA
=
1
4
sin2A=-
3
20
，
∴sin2A=-
3
5
，
∵A为三角形内角，
∴π＜2A＜2π，
∴
π
2
＜A＜π，
∴sinA-cosA＞0
而（sinA-cosA）2=1-sin2A=1-（-
3
5
）=
8
5

∴sinA-cosA
8
5
=
2
10
5
．
点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，切化弦后，求得sin2A=-
3
5
是关键，考查推理分析与运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
16、以下四个命题：
①如果两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线
都垂直于另一个平面内无数条直线；②设m、n为两条不
同的直线，α、β是两个不同的平面，若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n，③“直线a⊥b”的充分而不必要条件是“a垂直于b在平面α内的射影”；④若点P到一个三角形三条边的距离相等，则点P在该三角形所在平面上的射影是该三角形的内心．其中正确的命题序号为
①②
．
15、给出命题：
（1）在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；
（2）设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；
（3）已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；
（4）若点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心；
（5）a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．
其中正确的命题是
（2）（4）
（只填序号）．
（2013•红桥区二模）已知椭圆：
x2
a2
+
y2
b2
=l（a＞b＞0）的一个顶点坐标为B（0，1），若该椭圆的离心率等于
3
2
．
（1）求椭圆的方程．
（2）设Q是椭圆上任意一点，F1F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围；
（3）以B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，判断这样的三角形存在吗？若存在，有几个？若不存在，请说明理由．
（2012•眉山一模）设函数f（x）对其定义域内的任意实数x1与x2都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
，则称函数f（x）为上凸函数． 若函数f（x）为上凸函数，则对定义域内任意x1、x2、x3，…，xn都有f(
x1+x2+…+xn
n
)≥
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
n
（当x1=x2=x3=…=xn时等号成立），称此不等式为琴生不等式，现有下列命题：
①f（x）=lnx（x＞0）是上凸函数；
②二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）是上凸函数的充要条件是a＞0；
③f（x）是上凸函数，若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是f（x）图象上任意两点，点C在线段AB上，且
AC
=λ
CB
，则f(
x1+λx2
1+λ
)≥
f(x1)+λf(x2)
1+λ
；
④设A，B，C是一个三角形的三个内角，则sinA+sinB+sinC的最大值是
3
3
2
．
其中，正确命题的序号是
①③④
①③④
（写出所有你认为正确命题的序号）．
（2013•四川）设P1，P2，…Pn为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…Pn的距离之和最小，则称点P为P1，P2，…Pn的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：
①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是
①④
①④
（写出所有真命题的序号）．

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