题目内容

如下图，已知ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,AE⊥PB于点E,EF⊥PC于点F.

(1)求证:AF⊥PC;

(2)设平面AEF交PD于点G,求证:AG⊥PD.

证明:(1)∵PA⊥平面ABCD,

∴PA⊥BC.

    又∵BC⊥AB，

∴BC⊥平面PAB.

∴BC⊥AE.

    又∵AE⊥PB,

∴AE⊥平面PBC.

∴EF为AF在平面PBC上的射影,而PC⊥EF.

∴AF⊥PC.

(2)由(1)PC⊥平面AEFG,

∴PC⊥AG.

∵CD⊥AD,CD⊥PA,

∴CD⊥平面PAD.

∴CD⊥AG.

∴AG⊥平面PCD.

∴AG⊥PD.

点评:证明两条直线垂直常用以下几种方法:

(1)利用直线和直线垂直的定义,证明两直线所成的角为90°;

(2)利用直线和平面垂直的定义,证明一条直线垂直于过另一条直线的某个平面;

(3)利用三垂线定理或其逆定理.

练习册系列答案
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如下图，已知ABCD、ABEF、CDFE都是长方形，且平面ABCD⊥平面ABEF．记∠FCE＝，∠CFB＝α，∠CEB＝β，则有

[　　]

A．sinβ＝sinα·sin

B．cosα＝cosβ·cos

C．sinα＝sinβ·cos

D．sinβ＝sinα·cos

如下图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1，

(1)求证：E，B，F，D1四点共面；

(2)若点G在BC上，，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥面BCC1B1；

(3)用θ表示截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角大小，求tanθ．

如下图，已知ABCD为正方形，AE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，AD＝DF＝2AE＝2．

(1)求证：平面BEF⊥平面BDF；

(2)求点A到平面BEF的距离；

如下图，已知ABCD—A′B′C′D′是平行六面体.

(1)化简+,并在图中标出其结果;

(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC′B′对角线BC′上的34分点,设,试求α,β,γ的值.

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