Question

已知函数f（x）=

3

sin2x+2cos²x+m，其定义域为[0，

π

2

]，最大值为6．
（1）求常数m的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f（x）=

3

sin2x+2cos²x+m，利用降幂公式，及辅助角公式，我们可将函数f（x）的解析式化为正弦型函数的形式，进而根据在区间[0，

π

2

]，最大值为6，构造关于m的方程，解方程求出常数m的值；
（2）根据（1）中结论，我们可以得到函数f（x）的解析式，结合正弦型函数的单调性，我们易分析出函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的单调性，进而得到函数f（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）由f（x）=

3

sin2x+2cos²x+m
=

3

sin2x+2cos2x+m+1
=2sin（2x+

π

6

）+m+1
由x∈[0，

π

2

]，知：

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
于是可知f（x）≤3+m
∴3+m=6得m=3．…（6分）
（2）由（1）得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+4及

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
而y=sinx在[-

π

2

，

π

2

]上单调递增
令

π

6

≤2x+

π

6

≤

π

2

解得0≤x≤

π

6

于是f（x）在定义域[0，

π

2

]上的单调递增区间为[0，

π

6

]．…（12分）

点评：本题考查的知识点是降幂公式，辅助角公式，三角函数的最值，正弦型函数的单调性，其中根据已知条件，构造m的方程，求出函数的解析式是解答本题的关键．本题（2）中易忽略函数的定义域，得到错解．