Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n且满足S_n+n=2a_n（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n+1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（2n+1）a_n+2n+1，数列{b_n}的前n项和为T_n．求满足不等式

Tn-2

2n-1

＞2013的n的最小值．

Answer 1

分析：（1）由S_n+n=2a_n，知S_n=2a_n-n．当n=1 时，S₁=2a₁-1，则a₁=1，当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-（n-1），故a_n=2a_n-1+1，由此能够证明数列{a_n+1}是等比数列．并能求出数列{a_n}的通项公式a_n
（2）由b_n=（2n+1）a_n+2n+1，得T_n=（2×1+1）2¹+（2×2+1）2²+（2×2+1）2³+…+（2n+1）2ⁿ，由此利用错位相减法能够求出T_n，并得到满足

Tn-2

2n-1

=2n+1＞2013的n的最小值为10．

解答：证明：（1）由S_n+n=2a_n得 S_n=2a_n-n
当n∈N^*时，S_n=2a_n-n，①
当n=1 时，S₁=2a₁-1，则a₁=1，
则当n≥2，n∈N^*时，S_n-1=2a_n-1-（n-1）．②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-1，
即a_n=2a_n-1+1，
∴a_n+1=2（a_n-1+1）
∴

an+1

an-1+1

=2，
∴{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列．
∴a_n+1=2•2^n-1，
∴a_n=2ⁿ-1．
（2）证明：由b_n=（2n+1）a_n+2n+1，a_n=2ⁿ-1，
得b_n=（2n+1）（2ⁿ-1）+2n+1=（2n+1）2ⁿ，
则T_n=（2×1+1）2¹+（2×2+1）2²+（2×2+1）2³+…+（2n+1）2ⁿ ③
2T_n=（2×1+1）2²+（2×2+1）2³+…+[2（n-1）+1]2ⁿ+（2n+1）2ⁿ⁺¹  ④
③-④，得-T_n=（2×1+1）2¹+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n+1）2ⁿ⁺¹
=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-2n×2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-2n×2n+1
=-2-（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
所以Tn=(2n-1)×2n+1+2，
则

Tn-2

2n-1

=

(2n-1)×2n+1+2-2

2n-1

=2n+1．
解不等式2ⁿ⁺¹＞2013得到n+1≥11，即n≥10
故满足不等式

Tn-2

2n-1

＞2013的n的最小值为10．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，注意构造法和错位相减法的合理运用．