Question

以椭圆

x2

25

+

y2

16

=1的焦点为焦点，以直线

x= 2 t y=4t

为渐近线的双曲线的参数方程是

 

．

Answer 1

分析：先求出椭圆的焦点即为双曲线的焦点，从而得c，将直线方程化为普通方程，得到

b

a

，再根据a²+b²=c²，解出a，b，得到双曲线的标准方程，再化为参数方程即可．

解答：解：椭圆

x2

25

+

y2

16

=1的焦点为（

25-16

，0），（-

25-16

，0），
即为（3，0），（-3，0），
则双曲线的方程可设为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）
直线

x= 2 t y=4t

为渐近线，即直线y=2

2

x为渐近线，
∴

b

a

=2

2

，
由题意得，c=3，a²+b²=3²，
∴a=1，b=2

2

，
∴双曲线的标准方程为x²-

y2

8

=1，
∵sec²θ-tan²θ=1，
∴双曲线的参数方程可为

x=secθ y=2 2 tanθ

（θ为参数）．
故答案为：

x=secθ y=2 2 tanθ

（θ为参数）．

点评：本题考查椭圆的几何性质以及双曲线的几何性质，特别是渐近线方程，考查双曲线的普通方程与参数方程的关系，是一道基础题．