Question

设函数f（x）=alnx-bx²（x＞0），若函数f（x）在x=1处与直线y=-

1

2

相切．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在[

1

e

，e]上的最大值．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=alnx-bx²（x＞0），∴f′（x）=

a

x

-2bx，
∵函数f（x）在x=1处与直线y=-

1

2

相切，
∴

f′(1)=a-2b=0 f(1)=-b=- 1 2

，解得

a=1 b= 1 2

；
（2）f（x）=lnx-

1

2

x²，f′（x）=

1-x2

x

，
当

1

e

≤x≤e时，令f'（x）＞0得

1

e

≤x＜1，
令f'（x）＜0，得1＜x≤e，
∴f（x）在[

1

e

，1]，上单调递增，
在[1，e]上单调递减，
∴f（x）max=f（1）=-

1

2

；