Question

已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线上，且=．
（Ⅰ）求x₁+x₂的值及y₁+y₂的值
（Ⅱ）已知S₁=0，当n≥2时，S_n=+++，求S_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设a_n=，T_n为数列{a_n}的前n项和，若存在正整数c、m，使得不等式成立，求c和m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设出M的坐标，求出，．利用=．求出x₁+x₂的值，再用求出y₁+y₂的值．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，，化简S_n=+++，可求S_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，利用a_n=，T_n为数列{a_n}的前n项和，求出T_n的表达式，
结合不等式，推出c，m的范围，正整数c、m，可得c和m的值．
解答：解：（Ⅰ）∵点M在直线x=上，设M．又=，
即，，
∴x₁+x₂=1．（2分）
①当x₁=时，x₂=，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=-1-1=-2；
②当x₁≠时，x₂≠，
y₁+y₂=+=
==；
综合①②得，y₁+y₂=-2．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x₁+x₂=1时，y₁+y₂=-2．
∴，k=1，2，3，，n-1．（7分）
n≥2时，S_n=+++，①
S_n=，②
①+②得，2S_n=-2（n-1），则S_n=1-n．
n=1时，S₁=0满足S_n=1-n．
∴S_n=1-n．（10分）
（Ⅲ）a_n==2^1-n，T_n=1++=.??．T_m+1=2-，2T_m-T_m+1=-2+=2-，
∴，c、m为正整数，
∴c=1，
当c=1时，，
∴1＜2^m＜3，
∴m=1．（14分）
点评：本题考查分段函数，数列的求和，数列递推式，相等向量与相反向量，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．