Question

14．设集合A={x|x²-x-12≥0}，B={x|x²-3px+（p+1）（2p-1）≤0，p＜2}．
（1）若A∩B=B，求实数p的取值范围．
（2）A∩B=∅，且复数z满足z²-2z+p²+1=0，求|z|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出集合A={x|x≤-3，或x≥4}，B={x|2p-1≤x≤p+1}，根据A∩B=B便可得到$\left\{\begin{array}{l}{p＜2}\\{p+1≤-3，或2p-1≥4}\end{array}\right.$，解该不等式组即可得出实数p的取值范围；
（2）根据A∩B=∅容易求出-1＜p＜2，而根据z²-2z+p²+1=0便可得到（z-1）²=（pi）²，从而可以得出z=1+pi，从而|z|=$\sqrt{1+{p}^{2}}$，这样根据p的范围，求出p²的范围，进一步求出$\sqrt{1+{p}^{2}}$的范围，即求出|z|的取值范围．

解答 解：（1）A={x|x≤-3，或x≥4}，B={x|2p-1≤x≤p+1}；
若A∩B=B，则B⊆A；
∴$\left\{\begin{array}{l}{p＜2}\\{p+1≤-3或2p-1≥4}\end{array}\right.$；
解得p≤-4；
∴实数p的取值范围为：（-∞，-4]；
（2）∵A∩B=∅；
∴$\left\{\begin{array}{l}{p＜2}\\{2p-1＞-3}\\{p+1＜4}\end{array}\right.$；
∴-1＜p＜2；
由z²-2z+p²+1=0得，（z-1）²=（pi）²；
∴z-1=pi；
∴z=1+pi；
∴$|z|=\sqrt{1+{p}^{2}}$；
-1＜p＜2；
∴0≤p²＜4；
∴1≤1+p²＜5；
∴$1≤\sqrt{1+{p}^{2}}＜\sqrt{5}$；
即$1≤|z|＜\sqrt{5}$；
∴|z|的取值范围为：$[1，\sqrt{5}）$．

点评 考查一元二次不等式的解法，交集、子集，及空集的定义，复数模的概念及求法，以及二次函数值域的求法．