Question

【题目】已知定义在R上的函数f(x)＝2x－.

(1)若f(x)＝，求x的值；

(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）1（2）[－5，＋∞)．

【解析】

（1）根据绝对值定义分类讨论，通过解一元二次方程得x的值；（2）先根据平方关系化简不等式，并变量分离为对应函数最值问题，最后根据指数函数单调性的最值，即得实数m的取值范围．

解　(1)当x<0时，f(x)＝0，无解；

当x≥0时，f(x)＝2x－，

由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，

看成关于2x的一元二次方程，解得2x＝2或－，

∵2x>0，∴x＝1.

(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，

即m(22t－1)≥－(24t－1)，

∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)，

∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，

故m的取值范围是[－5，＋∞)．