题目内容
直线l与椭圆
+
=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,已知m=(ax1,by1),n=(ax2,by2),若m⊥n且椭圆的离心离e=
,又椭圆经过点(,1),O为坐标原点.
(1)求椭圆的方程.
(2)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
+=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,已知m=(ax1,by1),n=(ax2,by2),若m⊥n且椭圆的离心离e=,又椭圆经过点(,1),O为坐标原点.(1)求椭圆的方程.
(2)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
(1) 
+x2=1. (2) 定值.理由见解析
+x2=1. (2) 定值.理由见解析(1)∵
∴a=2,b=1,
∴椭圆的方程为+x2=1.
(2)①当直线AB斜率不存在时,即x1=x2,y1=-y2,
由已知m·n=0,得4
-
=0⇒=4,
又A(x1,y1)在椭圆上,
所以+
=1⇒|x1|=
,|y1|=
,
S△AOB=
|x1||y1-y2|=|x1|·2|y1|=1,三角形的面积为定值.
②当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx+t,
由
⇒(k2+4)x2+2ktx+t2-4=0,必须Δ>0,即4k2t2-4(k2+4)(t2-4)>0,
得到x1+x2=
,x1x2=
,
∵m⊥n,∴4x1x2+y1y2=0?4x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0,代入整理得:2t2-k2=4,
S=×
|AB|=|t|
=
=
=1,
所以三角形的面积为定值.
∴a=2,b=1,∴椭圆的方程为
+x2=1.(2)①当直线AB斜率不存在时,即x1=x2,y1=-y2,
由已知m·n=0,得4
-=0⇒=4,又A(x1,y1)在椭圆上,
所以
+=1⇒|x1|=,|y1|=,S△AOB=
|x1||y1-y2|=|x1|·2|y1|=1,三角形的面积为定值.②当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx+t,
由
⇒(k2+4)x2+2ktx+t2-4=0,必须Δ>0,即4k2t2-4(k2+4)(t2-4)>0,得到x1+x2=
,x1x2=,∵m⊥n,∴4x1x2+y1y2=0?4x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0,代入整理得:2t2-k2=4,
S=
×|AB|=|t|===1,所以三角形的面积为定值.
练习册系列答案
期末1卷素质教育评估卷系列答案
相关题目
：
的离心率为
，右焦点
到直线
的距离为
．
的方程；
（
）的直线
与椭圆
两点，
为椭圆的右顶点，直线
分别交直线
于点
，线段
的中点为
，记直线
的斜率为
，求证：
为定值．
的三个顶点都在抛物线
上，且抛物线的焦点
满足
，若
边上的中线所在直线
的方程为
（
为常数且
）．
的值；
为抛物线的顶点，
，
，
的面积分别记为
，
，
，求证：
为定值．
的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在
轴上，有一个顶点为
，
．
作直线
与椭圆
两点，线段
的中点为
,求直线
的斜率
的取值范围.
,则动点P的轨迹为双曲线;
则动点P的轨迹为椭圆;
有相同的焦点; 
的距离与到定直线
的距离相等的点的轨迹是抛物线.
＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为
，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
＋
为定值，并求出这个定值．
=1所表示的曲线一定不是 ( )