Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若Sn+an=

n2+3n+5

2

，问是否存在f（n），使得对于一切n∈N^*，都有a_n=n-f（n）成立，请说明理由．

Answer 1

分析：用n+1代替n，得到一个新的式子，再用两式相减，得2a_n+1-a_n=n+2．然后假设存在f（n），使得对于一切n∈N^*，都有a_n=n-f（n）成立，再利用n+1代替n，得出2（n+1）-2f（n+1）-n+f（n）=n+2，整理得出{f（n）}成等比数列，再根据它的首项和公比得出{f（n）}的通项公式，得出正确结论．

解答：解：∵Sn+an=

n2+3n+5

2

①
∴Sn+1+an+1=

(n+1)2+3(n+1)+5

2

②
②-①得2a_n+1-a_n=n+2．③
若存在f（n）满足：a_n=n-f（n）成立，则有2（n+1）-2f（n+1）-n+f（n）=n+2，整理得f(n+1)=

1

2

f(n)．
又由①式，得a1=

9

4

，∴f(1)=-

5

4

．
∴{f（n）}构成首项为-

5

4

，公比为

1

2

的等比数列； f(n)=-

5

4

(

1

2

)n-1．
因而存在f(n)=-

5

2n+1

满足题意．

点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的综合，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．