Question

已知函数f（x）=

2x-1

2x+1

，
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）求证函数f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析：（1）先验证f（-1）=-f（1），可知此函数为奇函数，再用奇函数的定义证明即可，奇函数定义：如果对?x∈D，f（-x）=-f（x）则函数f（x）为奇函数；
（2）利用函数单调性的定义证明即可，但一定注意f（x₁）-f（x₂）符号的判断．

解答：解：由题意知：
（1）f（x）是奇函数．
证明：∵对?x∈R
有f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

(2-x-1)2x

(2-x+1)2x

=

1-2x

1+2x

=-f(x)
∴根据奇函数的定义可知：f（x）是奇函数
（2）任取x₁，x₂∈R，设x₁＜x₂
则f(x1)-f(x2)=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

(2x1-1)(2x2+1)-(2x1+1)(2x2-1)

(2x1+1)(2x2+1)

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂且f（x）=2^x为增函数，
∴2x1 ＜2x2
又∵(2x1+1)＞0；(2x2+1)＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
故：函数f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函数．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断和证明，及函数单调性的证明，属于基础题型．