Question

设函数y＝f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d的图象在x＝0处的切线方程为24x＋y－12＝0.

(1)求c，d；

(2)若函数在x＝2处取得极值－16，试求函数解析式并确定函数的单调区间.

Answer 1

(1)f(x)的定义域为R，

f′(x)＝3ax²＋2bx＋c，∴f′(0)＝c；

∵切线24x＋y－12＝0的斜率为k＝－24，

∴c＝－24；

把x＝0代入24x＋y－12＝0得y＝12，

∴d＝12.

∴c＝－24，d＝12.

(2)由(1)f(x)＝ax³＋bx²－24x＋12，

由已知得⇒，

∴.

∴f(x)＝x³＋3x²－24x＋12，

∴f′(x)＝3x²＋6x－24

＝3(x²＋2x－8)＝3(x＋4)(x－2)，

由f′(x)>0得，x<－4或x>2；

由f′(x)<0得，－4<x<2；

∴f(x)的单调增区间为(－∞，－4)，(2，＋∞)；

单调减区间为(－4,2).