Question

设集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和正整数m，记f(m，k)=，其中[a]表示不大于a的最大整数。求证：对任意正整数n，存在k∈P和正整数m，使得f(m，k)=n。

Answer 1

证明略

证明：定义集合A={|m∈N*，k∈P}，其中N*为正整数集。由于对任意k、i∈P且k≠i，是无理数，则对任意的k₁、k₂∈P和正整数m₁、m₂，当且仅当m₁=m₂，k₁=k₂。由于A是一个无穷集，现将A中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数n，设此数列中第n项为。下面确定n与m、k的关系。若，则。由m₁是正整数可知，对i=1，2，3，4，5，满足这个条件的m₁的个数为。从而n==f(m，k)。因此对任意n∈N*，存在m∈N*，k∈P，使得f(m，k)=n。