Question

【题目】已知函数，对于任意的实数，恒成立.

（1）求的值；

（2）若，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据和，可知，也为极小值，可得必要条件，求得；接着证明充分性，当时，利用导数可得函数单调性，从而知充分性成立，由此得到结果；

（2）设，整理得到，构造函数，利用导数可证得，从而说明，得到，解不等式即可得到所证结论.

（1）由题意得：.

且恒成立，是的最小值，也是的极小值，

则其必要条件，则，解得：；

当时，，，

当时，；当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

，可知充分性成立；

综上所述：.

（2）由（1）可知：在上单调递减，在上单调递增，

不妨设，，

，

，令，则，

令，

则

，

令，则，

在上单调递减，，，

在上单调递增，

，，，，

，，

，又，，

，

即，解得：或（舍），

综上所述：.