Question

有一个底面半径和高都是R的圆锥形密闭容器，容器中装有一些水．如果底朝下（且水平）时水的高度为1/2R，那么当底面朝上（且水平）时容器中水的高度为多少？

Answer 1

分析：如图，设圆锥的顶点为S，它在底面上的射影是O，底朝下（且水平）时水面的圆心为Q，底面朝上（且水平）时水面的圆心为A．利用体积之差求出V_QO，又V_SA=

1

3

πh²×h=

1

3

πh³由V_SQ=V_OA=

7

24

πR³即可求得当底面朝上（且水平）时容器中水的高度．

解答：解：如图，设圆锥的顶点为S，它在底面上的射影是O，底朝下（且水平）时水面的圆心为Q，底面朝上（且水平）时水面的圆心为A．则
V_SO=

1

3

πR²×R=

1

3

πR³
∴V_QO=

1

3

πR³-

1

3

π（

R

2

）³=

7

24

πR³
又V_SA=

1

3

πh²×h=

1

3

πh³
由V_SQ=V_OA=

7

24

πR³
∴h=

3 7

2

R．
那么当底面朝上（且水平）时容器中水的高度为

3 7

2

R．

点评：本小题主要考查旋转体（圆柱、圆锥、圆台）、组合几何体的面积、体积问题等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．