Question

已知椭圆：（）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为，，点是右准线上任意一点，过作直 线的垂线交椭圆于点．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；
（3）点的纵坐标为3，过作动直线与椭圆交于两个不同点，在线段上取点，满足，试证明点恒在一定直线上．

Answer 1

（1）；（2）证明详见解析；（3）证明详见解析.

试题分析：（1）利用椭圆的定义、离心率的定义、的关系列出方程组，解得的值；（2）由右准线方程设出点坐标，由垂直的充要条件得，表达出，将点代入椭圆中，即，代入中，化简得常数；（3）设出点，代入椭圆方程中，设，由得向量关系，得到与的关系，据与及与系数比为2:3，得在直线.
试题解析：（1）由题意可得，解得，，,
所以椭圆：．                                   2分
（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，
设，
因为PF₂⊥F₂Q，所以，
所以，
又因为且代入化简得．
即直线与直线的斜率之积是定值．                     7分.
（3）设过的直线l与椭圆交于两个不同点，点
，则，．
设，则，
∴，，
整理得，，，
∴从而，
由于，，∴我们知道与的系数之比为2：3，与的系数之比为2：3．
∴，
所以点恒在直线上．                                  13分