Question

已知函数f(x)=

x2+1

x+c

的图象关于原点对称．
（1）求f（x）的表达式；
（2）n≥2，n∈N时，求证：[f（1）-1]|[f（2²）-2²]+…+[f（n²）-n²]＜2；
（3）对n≥2，n∈N，x＞0，求证[f（x）]ⁿ-f（xⁿ）≥2ⁿ-2．

Answer 1

分析：（1）用特殊值直接代入，得f（1）=-f（-1），解此方程，即可求得c的值．
（2）利用放缩法，f(n2)-n2=

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

(n≥2)，再根据列项相消求和即可．
（3）利用二项式定理，将[f（x）]ⁿ-f（xⁿ）展开，然后根据二项式系数相等的项，合并成n-1对，每一个括号里面都使用基本不等式，可以证出[f（x）]ⁿ-f（xⁿ）≥C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1=2ⁿ-2，达到证明的目的．

解答：解：∵f（x）图象关于原点对称
∴f（x）是奇函数，代入特值，f（1）=-f（-1），求得c=0
∴f(x)=

x2+1

x

（2）∵n≥2，n∈N
∴f(n2)-n2=

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

(n≥2)
∴[f(1)-1]+…+[f(n2)-n2]＜1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)＜2
（3）[f(x)]n-f(xn)=(x+

1

x

)n-(xn+

1

xn

)
=

C

1 n

xn-1

1

x

+

C

2 n

xn-2(

1

x

)2+…+

C

n-1 n

x(

1

x

)n-1
=

1

2

[(

C

1 n

xn-1

1

x

+

C

n-1 n

x(

1

x

)n-1)+(

C

2 n

xn-2(

1

x

)2+

C

n-2 n

x2(

1

x

)n-1)+…+(

C

n-1 n

x(

1

x

)n-1+

C

1 n

xn-1(

1

x

))]

≥

1

2

[

C

n 1

2

xn-1 1 x x( 1 x )n-1  +

C

n 2

•2

xn-2 1 x 2 x2( 1 x ) n-2

+…+

C

n n-1

•2

( 1 x ) n-1x n-1

]=2ⁿ-2
∴[f（x）]ⁿ-f（xⁿ）≥2ⁿ-2．

点评：本题考查了函数与不等式的综合，二项式定理等等知识点，属于难题．合理地将条件加以运用，适时利用基本不等式，是解决本题的关键、