Question

从高三学生中抽取n名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是区间[40，100），且成绩在区间[70，90）的学 生人数是27人．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）试估计这n名学生的平均成绩；
（Ⅲ）若从数学成绩（单位：分）在[40，60）的学生中随机选取2人进行成绩分析，求至少有1人成绩在[40，50）内的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由直方图可得成绩分布在区间[70，90）的频率，由频率=

频数

样本容量

可得答案；
（Ⅱ）由平均数加权公式可得平均数为45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95×0.16，计算出结果既得；
（Ⅲ）由题意可得：样本中成绩在[40，50）和[50，60）上的学生分别有2人、3人，分别记为x，y；a，b，c．再由列举法可得所有事件个数以及至少有1人成绩在[40，50）内的事件个数，进而得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由直方图可得成绩分布在区间[70，90）的频率为1-10（0.004+0.006+0.02+0.016）=0.54，
设样本容量为n，则0.54=

27

n

，解得n=50；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，成绩在区间[70，90）的频率为0.24，
故得这n名学生的平均成绩为
45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95×0.16=76.2；
（Ⅲ）样本中成绩在[40，50）上的学生有50×0.04=2人，记为x，y；
成绩在[50，60）上的学生有50×0.06=3人，记为a，b，c．
从上述5人中任选2人的基本事件有：{x，y}，{x，a}，{x，b}，{x，c}，{y，a}，{y，b}，{y，c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，共10个，
记“从上述2人中任选2人，至少有1人在[40，50）上”为事件A，则事件A包含的基本事件有：{x，y}，{x，a}，{x，b}，{x，c}，{y，a}，{y，b}，{y，c}，共7个．
故所求概率P（A）=

7

10

．

点评：本题考查古典概型的求解和频率分布的结合，列举对事件是解决问题的关键，属中档题．