Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁，D为AB的中点，且CD⊥DA₁。

（1）求证：BC₁∥平面DCA₁；
（2）求BC₁与平面ABB₁A₁所成角的大小。

Answer 1

解：（1）如图，连接AC1与A1C交于点K，连接DK 在△ABC1中，D，K为中点， ∴DK∥BC1 又DK平面DCA1，BC1平面DCA1， ∴BC1∥平面DCA1。
（2）如图，∵AC=BC，D为AB的中点， ∴CD⊥AB 又CD⊥DA1，AB∩DA1=D， ∴CD⊥平面ABB1A1 取A1B1的中点E，又D为AB的中点， ∴DE，BB1，CC1平行且相等， ∴DCC1E是平行四边形， ∴C1E，CD平行且相等， 又CD⊥平面ABB1A1， ∴C1E⊥平面ABB1A1， ∴∠EBC1即所求角， 由前面证明知CD⊥平面ABB1A1， ∴CD⊥BB1， 又AB⊥BB1，AB∩CD=D， ∴BB1⊥平面ABC， ∴此三棱柱为直棱柱 设AC=BC=BB1=2， ∴，∠EBC1=30°。