题目内容

设a、b、c为一个三角形的三边，S=(a+b+c)，且S2=2ab，求证：S＜2a.

 

思路解析：条件与结论之间的关系不明显，可先结合条件把结论作适当转化，把S＜2a转化为b+c＜3a，结合S2=2ab转化为b＜S.

证明：要证S＜2a，由于S2=2ab，只需证S＜，即b＜S，只需证2b＜a+b+c，即b＜a+c.

    由于a、b、c为一个三角形的三边，所以上式成立，于是原命题成立.


练习册系列答案
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（2012•眉山一模）设函数f（x）对其定义域内的任意实数x1与x2都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
，则称函数f（x）为上凸函数． 若函数f（x）为上凸函数，则对定义域内任意x1、x2、x3，…，xn都有f(
x1+x2+…+xn
n
)≥
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
n
（当x1=x2=x3=…=xn时等号成立），称此不等式为琴生不等式，现有下列命题：
①f（x）=lnx（x＞0）是上凸函数；
②二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）是上凸函数的充要条件是a＞0；
③f（x）是上凸函数，若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是f（x）图象上任意两点，点C在线段AB上，且
AC
=λ
CB
，则f(
x1+λx2
1+λ
)≥
f(x1)+λf(x2)
1+λ
；
④设A，B，C是一个三角形的三个内角，则sinA+sinB+sinC的最大值是
3
3
2
．
其中，正确命题的序号是
①③④
①③④
（写出所有你认为正确命题的序号）．

设a，b，c为某一个三角形的三条边，a≥b≥c，求证：

．
设a、b、c为正数，则a+、b+、c+这三个数

A.都不大于2                                                  B.至少有一个不大于2

C.都不小于2                                                  D.至少有一个不小于2
设a、b、c为某一个三角形的三条边,a≥b≥c,求证:

(1)c(a+b-c)≥b(c+a-b)≥a(b+c-a);

(2)a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.

设函数f（x）对其定义域内的任意实数，则称函数f（x）为上凸函数． 若函数f（x）为上凸函数，则对定义域内任意x1、x2、x3，…，xn都有（当x1=x2=x3=…=xn时等号成立），称此不等式为琴生不等式，现有下列命题：
①f（x）=lnx（x＞0）是上凸函数；
②二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）是上凸函数的充要条件是a＞0；
③f（x）是上凸函数，若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是f（x）图象上任意两点，点C在线段AB上，且；
④设A，B，C是一个三角形的三个内角，则sinA+sinB+sinC的最大值是．
其中，正确命题的序号是    （写出所有你认为正确命题的序号）．

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