Question

已知函数f（x）=

2x-1

2x+1

．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；  
（2）证明：在f（x）上R为增函数；
（3）证明：方程f（x）-lnx=0在区间（1，3）内至少有一根．

Answer 1

分析：（1）利用函数奇偶性的定义即可判断；
（2）f（x）=1-

2

2x+1

，任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，根据增函数的定义，只需通过作差证明f（x₁）＜f（x₂）；
（3）令g（x）=f（x）-lnx=1-

2

2x+1

-lnx，问题转化为证明函数g（x）在区间（1，3）内至少有一个零点即可，有零点存在定理可证明；

解答：（1）解：f（x）为奇函数．证明如下：
函数定义域为R，关于原点对称，
又f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数；
（2）证明：f（x）=1-

2

2x+1

，
任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（1-

2

2x1+1

）-（1-

2

2x2+1

）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
因为x₁＜x₂，所以2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在R上为增函数；
（3）证明：令g（x）=f（x）-lnx=1-

2

2x+1

-lnx，
因为g（1）=

1

3

＞0，g（3）=1-

2

23+1

-ln3=

7

9

-ln3＜0，
又g（x）在（1，3）上图象连续不断，
所以函数g（x）在（1，3）上至少有一个零点，
即方程f（x）-lnx=0在区间（1，3）内至少有一根．

点评：本题考查函数奇偶性、单调性的判断证明，考查函数零点的存在定理，掌握有关问题的基本解决方法是处理该类问题的基础．