Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-mx．
（Ⅰ）若f（x）为（0，+∞）上的单调函数，试确定实数m的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（x）在定义域上的极值；
（Ⅲ）设an=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+(n+1)

(n∈N*)，求证：a_n＞ln2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意得f′(x)=

1

x+1

-m所以x＞0时，0＜

1

x+1

＜1，所以m≤0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，m≥1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
（Ⅱ）因为函数的定义域是（-1，+∞）所以当m≤0时f′(x)=

1

x+1

-m＞0所以此时f（x）没有极值；
当m＞0时，由f'（x）＞0得-1＜x＜

1

m

-1，由f'（x）＜0得x＞

1

m

-1，故当x=

1

m

-1时，f（x）有极大值．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知m=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x（x＞0），设x=

1

k+1

得 ln(1+

1

k+1

)＜

1

k+1

．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

1

x+1

-m
∵x＞0时，0＜

1

x+1

＜1
∴m≤0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增
∴m≥1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减
∴m的取值范围为（-∞，0]∪[1，+∞）单调函数；
（Ⅱ）①当m≤0时，f'（x）＞0，f（x）为定义域上的增函数，
∴f（x）没有极值；
②当m＞0时，由f'（x）＞0得-1＜x＜

1

m

-1；
由f'（x）＜0得x＞

1

m

-1∴f(x)在(-1，

1

m

-1)上单调递增，(

1

m

-1，+∞)上单调递减．
故当x=

1

m

-1时，f（x）有极大值f(

1

m

-1)=m-1-lnm，但无极小值．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知m=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减
∴f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x（x＞0），
令x=

1

k+1

，得ln(1+

1

k+1

)＜

1

k+1

所以

1

n+1

+

1

n+2

++

1

n+(n+1)

＞ln

n+2

n+1

+ln

n+3

n+2

++ln

2n+2

2n+1

=ln

2n+2

n+1

=ln2．
所以a_n＞ln2．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值与函数的单调性，在研究函数的性质时要注意函数的定义域．并且利用函数的单调性证明不等式，这是高考考查的重点也是学生学习的难点．