Question

在数列{a_n}与{b_n}中，a₁=1，b₁=4，数列{a_n}的前n项和S_n满足nS_n+1-（n+3）S_n=0，2a_n+1为b_n与b_n+1的等比中项，n∈N*．
（Ⅰ）求a₂，b₂的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）设Tn=(-1)a1b1+(-1)a2b2+…+(-1)anbn，n∈N*．证明|T_n|＜2n²，n≥3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解：题设有a₁+a₂-4a₁=0，a₁=1，4a₂²=b₂b₁，b₁=4，由此可求出a₂，b₂的值．
（Ⅱ）由题设条件猜想an=

n(n+1)

2

，b_n=（n+1）²，n∈N^*．再用数学归纳法进行证明．
（Ⅲ）由题设条件知Tn=

-n-3，n=4k-3 -n2-3n-3，，n=4k-2 n，n=4k-1 n2+3n，n=4k

，k∈N*．由此可以导出|T_n|＜2n²．

解答：解：（Ⅰ）解：由题设有a₁+a₂-4a₁=0，a₁=1，解得a₂=3．由题设又有4a₂²=b₂b₁，b₁=4，解得b₂=9．
（Ⅱ）解：由题设nS_n+1-（n+3）S_n=0，a₁=1，b₁=4，及a₂=3，b₂=9，进一步可得a₃=6，b₃=16，a₄=10，b₄=25，猜想an=

n(n+1)

2

，b_n=（n+1）²，n∈N^*．
先证an=

n(n+1)

2

，n∈N^*．
当n=1时，a1=

1×(1+1)

2

，等式成立．当n≥2时用数学归纳法证明如下：
（1）当n=2时，a2=

2×(2+1)

2

，等式成立．
（2）假设n=k时等式成立，即ak=

k(k+1)

2

，k≥2．
由题设，kS_k+1=（k+3）S_k（k-1）S_k=（k+2）S_k-1
①的两边分别减去②的两边，整理得ka_k+1=（k+2）a_k，从而ak+1=

k+2

k

ak=

k+2

k

•

k(k+1)

2

=

(k+1)[(k+1)+1]

2

．
这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式an=

n(n+1)

2

对任何的n≥2成立．
综上所述，等式an=

n(n+1)

2

对任何的n∈N^*都成立an=

n(n+1)

2

再用数学归纳法证明b_n=（n+1）²，n∈N^*．
（1）当n=1时，b₁=（1+1）²，等式成立．
（2）假设当n=k时等式成立，即b_k=（k+1）²，那么bk+1=

4ak+12

bk

=

(k+1)2(k+2)2

(k+1)2

=[(k+1)+1]2．
这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式b_n=（n+1）²对任何的n∈N^*都成立．
（Ⅲ）证明：当n=4k，k∈N^*时，Tn=-2²-3²+4²+5²--（4k-2）²-（4k-1）²+（4k）²+（4k+1）²．
注意到-（4k-2）²-（4k-1）²+（4k）²+（4k+1）²=32k-4，故4k（4k+4）-4k=（4k）²+3×4k=n²+3n．
当n=4k-1，k∈N^*时，T_n=（4k）²+3×4k-（4k+1）²=（n+1）²+3（n+1）-（n+2）²=n
当n=4k-2，k∈N^*时，T_n=（4k）²+3×4k-（4k+1）²-（4k）²=3（n+2）-（n+3）²=-n²-3n-3．
当n=4k-3，k∈N^*时，T_n=3×4k-（4k+1）²+（4k-1）²=3（n+3）-（n+4）²+（n+2）²=-n-3．
所以Tn=

-n-3，n=4k-3 -n2-3n-3，，n=4k-2 n，n=4k-1 n2+3n，n=4k

，k∈N*．
从而n≥3时，有

|Tn|

n2

=

1 n + 3 n2 ＜2    n=5，9，13 1+ 3 n + 3 n2 ＜2   n=6，10，14 1 n ＜2    n=3，7，11 1+ 3 n ＜2，n=4，8，12

总之，当n≥3时有

|Tn|

n2

＜2，即|T_n|＜2n²．

点评：本题主要考查等差数列的概念、通项公式及前n项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．