题目内容

在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，若 $数学公式$ ， $数学公式$ ，a=2 $数学公式$ ，且 $数学公式$ = $数学公式$ ．
（Ⅰ）若△ABC的面积S= $数学公式$ ，求b+c的值；
（Ⅱ）若R为△ABC的外接圆半径，且2RsinB+2RsinC＜P（P为参数）恒成立，求P的取值范围．

解：（Ⅰ） $\text{[math]}$ =-cos² $\text{[math]}$ +sin² $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴cosA=- $\text{[math]}$
∵A∈（0，π）∴A= $\text{[math]}$ ．
由S= $\text{[math]}$ cbsinA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，?bc=4，…①
又a²=b²+c²-2bccosA可得b²+c²=8…②
所以解①②可得：b+c=4 （6分）
（Ⅱ）由（I）可得B+C= $\text{[math]}$
由正弦定理可得，2R= $\text{[math]}$ ，得：b=4sinB，c=4sinC，
∴b+c=4（sinB+sinC）=4（sinB+sin（ $\text{[math]}$ ））=4sin（ $\text{[math]}$ ）
∵B∈ $\text{[math]}$ ∴sin（ $\text{[math]}$ ）∈（ $\text{[math]}$ ]，
∴2RsinB+2RsinC=b+c $\text{[math]}$ …
∴p＞4 （12分）
（也可用余弦定理结合基本不等式求解，解答略）
分析：（Ⅰ）通过向量的数量积，求出cosA的值，然后求出A，利用△ABC的面积S= $\text{[math]}$ ，以及余弦定理即可求b+c的值；
（Ⅱ）通过正弦定理求出b+c的值，推出sin（ $\text{[math]}$ ）的范围，求出2RsinB+2RsinC的最大值，然后求出的取值范围．
点评：本题推出向量的数量积，考查三角函数的化简求值，正弦定理以及两角和与差的三角函数，考查计算能力．