Question

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，F₁，F₂分别是椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），且△BF₁F₂是边长为2的等边三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点F₂的直线l与椭圆交于A，C两点，记△ABF₂，△BCF₂的面积分别为S₁，S₂．若S₁=2S₂，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）根据△BF₁F₂是边长为2的等边三角形，求出a，b，即可求椭圆的方程；
（2）根据面积关系，求出C点坐标，即可求出直线斜率．

解答 解：（1）∵△BF₁F₂是边长为2的等边三角形，
∴a=2c=2，则c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）设B到直线AC的距离为h，由S₁=2S₂，
则$\frac{1}{2}A{F}_{2}•h=2×\frac{1}{2}{F}_{2}C•h$，
即AF₂=2F₂C，
∴$\overrightarrow{A{F}_{2}}=2\overrightarrow{{F}_{2}C}$，
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∵F₂（1，0），
∴（1-x₁，-y₁）=2（x₂-1，y₂），
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=3-2{x}_{2}}\\{{y}_{1}=-2{y}_{2}}\end{array}\right.$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}=1}\\{\frac{（3-2{x}_{2}）^{2}}{4}+\frac{（-2{y}_{2}）^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{7}{4}}\\{{y}_{2}=±\frac{3\sqrt{5}}{8}}\end{array}\right.$，
∴直线l的斜率为k=$\frac{±\frac{3\sqrt{5}}{8}}{\frac{7}{4}-1}=±\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题主要考查椭圆的方程以及直线和椭圆的位置关系的应用，考查学生的运算能力．综合性较强．