Question

定义函数f（x）=

sinx，sinx≥cosx cosx，sinx＜cosx

，给出下列四个命题：
（1）该函数的值域为[-1，1]；
（2）当且仅当x=2kπ+

π

2

（k∈Z）时，该函数取得最大值；
（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数；
（4）当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

2

（k∈Z）时，f（x）＜0．上述命题中正确的个数是

1个

．

Answer 1

分析：f（x）为分段函数，由已知分别解出自变量的范围，从而求得f（x）的值域为[-

2

2

，1]，f（x）取得最大值1时，得x=

π

2

+2kπ或x=2kπ（k∈Z），求解f（x）的最小正周期周期，利用定义f（x+T）=f（x）来判断，计算出π不是f（x）的最小正周期，经过验证第四个命题是对的．

解答：解：∵sinx≥cosx，∴

π

4

+2kπ≤x≤

5π

4

+2kπ
∵sinx＜cosx，∴-

3π

4

+2kπ＜x＜

π

4

+2kπ
∴f（x）=

sinx   [ π 4 +2kπ 5π 4 +2kπ] cosx  (- 3π 4 +2kπ π 4 +2kπ)

，∴f（x）的值域为[-

2

2

，1]
当x=

π

2

+2kπ或x=2kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值为1．
∵f（x+π）=

-sinx -cosx

≠f（x）
∴f（x）不是以π为最小正周期的周期函数，
当f（x）＜0时，2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

2

（k∈Z）
综上所述，正确的个数是1个，
故答案为1个．

点评：本题主要考查求解三角函数的值域、周期、最值等知识，是三角函数的基础知识，应熟练掌握．