Question

如图所示：四棱锥P-ABCD底面一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点.

     （1）证明：EB∥平面PAD；

     （2）若PA=AD，证明：BE⊥平面PDC；

     （3）当PA=AD=DC时，求二面角E-BD-C的正切值.

Answer 1

（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

解析:

（1）取PD中点Q，连EQ、AQ，则∵QE∥CD，CD∥AB，∴QE∥AB，

又∥AQ

又∥平面PAD…3分

（2）PA⊥底面ABCD  ∴CD⊥PA，又CD⊥AD

∴CD⊥平面PAD   ∴AQ⊥CD若PA=AD，

∴Q为PD中点，∴AQ⊥PD ∴AQ⊥平面PCD

∵BE∥AQ，∴BE⊥平面PCD…………………7分

（3）连结AC，取AC的中点G，连EG，EG∥PA，

∵PA⊥平面ABCD，∴EC⊥平面ABCD，过G作GH⊥BD，连EH，则EH⊥BD，

∴∠EHG是二面角E—BD—C的平面角.

设AB=1，则PA=AD=DC=2AB=2. ∴

又   ∽△ABG，

  ∴BG∥AD，∠GBH=∠ADB，∴△ABD∽△HBG.

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