题目内容
（2012•乐山二模）已知A．B．C是平面上不共线的三点，O为△ABC的外心，动点P满足
=
（λ∈R），则P的轨迹一定过△ABC的（ ）
| OP |
[(1-λ)
| ||||||
| 3 |
分析：根据向量的加法的平行四边形法则向量的运算法则，对
=
[(1-λ)
+(1-λ)
+(1+2λ)
]进行化简，得到
+
，根据三点共线的充要条件知道P、C、D三点共线，从而得到点P的轨迹一定经过△ABC的重心．
| OP |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| OB |
| OC |
| 2(1-λ) |
| 3 |
| OD |
| 1+2λ |
| 3 |
| OC |
解答：解：取AB的中点D，则 2
=
+
∵
=
[(1-λ)
+(1-λ)
+(1+2λ)
]
∴
=
[(1-λ)(2
)+(1+2λ)
]
=
+
，
而
+
=1，
∴P、C、D三点共线，
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．
故选C．
| OD |
| OA |
| OB |
∵
| OP |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| OB |
| OC |
∴
| OP |
| 1 |
| 3 |
| OD |
| OC |
=
| 2(1-λ) |
| 3 |
| OD |
| 1+2λ |
| 3 |
| OC |
而
| 2(1-λ) |
| 3 |
| 1+2λ |
| 3 |
∴P、C、D三点共线，
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．
故选C．
点评：本小题主要考查向量的加法法则和运算法则、三点共线的充要条件的应用、三角形五心等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思与转化思想．属于基础题．
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