Question

设F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，若△PF₁F₂为直角三角形，则△PF₁F₂的面积等于    ．

Answer 1

【答案】分析：若PF₁⊥x轴，或PF₂⊥x轴时，把x=±2代入椭圆方程得，解得y即可得到三角形的高，即可得到△PF₁F₂的面积．若P为椭圆短轴的一个顶点，在Rt△POF₁中，可得，故不可能有PF₁⊥PF₂．
解答：解：由椭圆可得：a²=16，b²=12，∴c²=a²-b²=4．
①若PF₁⊥x轴，或PF₂⊥x轴时，把x=±2代入椭圆方程得，解得y=±3，∴h=3，
∴△PF₁F₂的面积===6．
②若P为椭圆短轴的一个顶点，
在Rt△POF₁中，tan∠OPF₁=，∴，∴，
当P为位置时，，故不可能有PF₁⊥PF₂．
故答案为6．
点评：熟练掌握分类讨论思想方法、三角形面积的计算公式、点与椭圆的关系是解题的关键．