Question

【题目】已知函数，．

（1）若，求函数的最值；

（2）讨论函数的零点个数．

Answer 1

【答案】（1）最小值为，最大值为1；（2）当或时，在内有1个零点；当时，在内无零点．

【解析】

（1）求出导函数，令，求出极值，再求出端点值即可求解.

（2）由题意将问题转化为函数的零点个数，对求导，根据导函数结合定义域分三种情况讨论①当时；②当时；③当时，分别求出函数的最值和单调区间，从而可判断出函数零点的个数.

（1）若，则，，

令，解得；

而，，，

故函数的最小值为，最大值为1．

（2）令，

因为，故，

令，故问题转化为函数的零点个数；

而，

①当时，即，当时，，

故在上单调递减，

，，

故当，即时，在上恒成立，

当时，在内无零点；

当，即，

即时，，

由零点存在性定理可知，此时在内有零点，

因为函数在内单调递减，此时在内有一个零点；

②当时，即，当时，，在上单调递增，

，，

故当，即时，，

由零点存在性定理，此时在内有零点，

因为在内单调递增，故仅有1个零点；

当时，，此时在内无零点；

③当时，即，

当时，，

当时，．

则函数在上单调递减，在上单调递增，

故，

故，此时在内无零点；

综上所述，当或时，在内有1个零点；

当时，在内无零点．