Question

已知函数f（x）=

(2 3 sin2x-sin2x)•cosx

sinx

+1．
（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[

π

4

，

π

2

]上的最值．

Answer 1

（Ⅰ）由sinx≠0得x≠kπ（k∈Z），
故f（x）的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
∵f(x)=

(2 3 sin2x-sin2x)•cosx

sinx

+1=(2

3

sinx-2cosx )•cosx+1
=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（II）由（Ⅰ）知，f（x）=2sin(2x-

π

6

)，
由 x∈[

π

4

，

π

2

]，2x∈[

π

2

，π]，2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，
当2x-

π

6

=

5π

6

，即x=

π

2

时，sin(2x-

π

6

)=

1

2

，f（x）取得最小值为1，
当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，sin(2x-

π

6

)=1，f（x）取得最大值为2．