Question

△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a、b、c，若（a-b+c）（sinA-sinB+sinC）=-3asinC．
（I）求角B；
（Ⅱ）若f（x）=cos（2x-B）+2sin² x，求f （x）的最小正周期及单调递增区间．

Answer 1

分析：（I）由条件求得a²+c²-b²=3ac，再利用余弦定理求得 cosB=

1

2

，从而求得 B 的值．
（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式为 sin（2x-

π

6

）-1，求出它的最小正周期，再由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出x的范围即可求得f （x）的单调递增区间．

解答：解：（I）由（a-b+c）（sinA-sinB+sinC）=-3asinC 利用余弦定理可得 （a+b+c）（a+c-b）=3ac，
即 a²+c²-b²=3ac，再利用余弦定理求得 cosB=

1

2

，
∴B=

π

3

．
（Ⅱ）若f（x）=cos（2x-B）+2sin² x=cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

+1-cos2x=sin（2x-

π

6

）-1，
故f （x）的最小正周期为

2π

2

=π．
再由 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈z，
故f （x）的单调递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．

点评：本题主要考查余弦定理的应用，正弦函数的周期性和单调增区间，属于中档题．