Question

设函数f（x）=ax³-2bx²+cx+4d，（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-

1

3

．
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；
（Ⅲ）若x₁，x₂∈[-1，1]，求证：|f(x1)-f(x2)|≤

4

3

．

Answer 1

分析：（1）根据奇偶性判断bd的值，再有在1处的极值求出a．
（2）用假设法证明，假设存在两点，在得出结果与假设矛盾．
（3）函数在1和-1处取代极值，判断其为最值，根据两最值之差最大，证明问题．

解答：（I）解：因为图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，所以b=0，d=0
所以f（x）=ax³+cx，因此f'（x）=3ax²+c
由题意得

f(1)=a+c=- 1 3 f′(1)=3a+c=0

，
解得a=

1

6

，c=-

1

2

（II）不存在．
证明：假设存在x₁，x₂，则f'（x₁）•f'（x₂）=-1
所以（x₁²-1）（x₂²-1）=-4
因为x₁，x₂∈[-1，1]所以x₁²-1，x₂²-1∈[-1，0]
因此（x₁²-1）（x₂²-1）≠-4
所以不存在．
（III）证明：f′(x)=

1

2

x2-

1

2

由f′(x)=

1

2

x2-

1

2

=0得x=±1fmin(x)=f(1)=-

1

3

，fmax(x)=f(-1)=

1

3

所以|f(x1)-f(x2)|≤fmax(x)-fmin(x)=f(-1)-f(1)=

2

3

＜

4

3

点评：该题考查函数奇偶性对应的奇数次项系数的值以及偶数次项系数的值，考查反正发的使用，考查两数之间最值之差最大，为中等题，