Question

已知函数f(x)=(

1

9

)x-2a(

1

3

)x+3，x∈[-1，1]
（Ⅰ）若f（x）的最小值记为h（a），求h（a）的解析式．
（Ⅱ）是否存在实数m，n同时满足以下条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为[n，m]时值域为[n²，m²]；若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设 (

1

3

)x=t，利用换元法，可将已知函数f(x)=(

1

9

)x-2a(

1

3

)x+3，x∈[-1，1]化为一个二次函数，根据二次函数在定区间上的最值问题，即可得到h（a）的解析式．
（Ⅱ）由（I）中h（a）的解析式，易得在h（a）在（3，+∞）上为减函数，进而根据h（a）的定义域为[n，m]时值域为[n²，m²]构造关于m，n的不等式组，如果不等式组有解，则存在满足条件的m，n的值；若无解，则不存在满足条件的m，n的值．

解答：解：（Ⅰ）设 (

1

3

)x=t，∵x∈[-1，1]，∴t∈[

1

3

，3]------------------------（1分）
则原函数可化为φ(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2，t∈[

1

3

，3]------------（2分）
讨论 ①当a＜

1

3

时，h(a)=φ(t)min=φ(

1

3

)=

28

9

-

2a

3

-------------（3分）
②当

1

3

≤a≤3时，h（a）=φ（t）_min=φ（a）=3-a²-------------（4分）
③当a＞3时，h（a）=φ（t）_min=φ（3）=12-6a--------------（5分）
∴h(a)=

28 9 - 2a 3 (a＜ 1 3 )    3-a2  ( 1 3 ≤a≤3) 12-6a(a＞3)

--------------（6分）

（Ⅱ） 因为h（a）=12-6a在（3，+∞）上为减函数，而m＞n＞3
∴h（a）在[n，m]上的值域为[h（m），h（n）]-------------------------------（7分）
∵h（a）在[n，m]上的值域为[n²，m²]，
∴

h(m)=n2 h(n)=m2

即：

12-6m=n2 12-6n=m2

-----（9分）
两式相减得：6（m-n）=（m-n）（m+n）---------------------------------（10分）
又m＞n＞3∴m+n=6，而m＞n＞3时有m+n＞6，矛盾．-----------（11分）
故满足条件的实数m，n不存在．-------------------（12分）

点评：本题考查的知识点是指数函数的综合应用，其中（I）的关键是利用换元法，将函数解析式化为二次函数，（II）的关键是判断h（a）在（3，+∞）上为减函数进而构造关于m，n的不等式组．