题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)的右焦点为F（1，0），左、右顶点分别A、B，其中B点的坐标为（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过F的直线交C于M、N，记△AMB、△ANB的面积分别为S1、S2，求
S1
S2
的取值范围．
（I）由已知得a=2，c=1，
又在椭圆中有b2=a2-c2，
所以b2=3
所以椭圆C的方程为：
x2
4
+
y2
3
=1．
（Ⅱ）令M（x1，y1），N（x2，y2），
由方程组
3x2+4y2=12
x=my+1
，
消x，得（3m2+4）y2+6my-9=0，
∴y1+y2=
-6m
3m2+4
，①
y1y2=
-9
3m2+4
，②
①2/②得
y1
y2
+
y2
y1
+2=
-4m2
3m2+4
，，令t=
y1
y2
，
则|t|+|
1
t
|=|t+
1
t
|=
10m2+8
3m2+4
=
10
3
-
16
3
3m2+4
，
∴2≤|t|+|
1
t
|＜
10
3
，即
1
3
＜|t|＜3．
∵
S△AMB
S△ANB
=
1
2
|AB||y1|
1
2
|AB||y2|
=|t|，
∴
S△AMB
S△ANB
∈(
1
3
，3)
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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