Question

函数f（x）=log_0.5（x²-ax+3a）的定义域为R，则实数a的取值范围是

（0，12）

；
函数f（x）=log_0.5（x²-ax+3a）的值域为R，则实数a的取值范围是

（-∞，0]∪[12，+∞）

．

Answer 1

分析：根据函数f（x）=log_0.5（x²-ax+3a）的定义域为R，可得x²-ax+3a＞0恒成立，故有△=a²-12a＜0，由此解得实数a的取值范围．
根据函数f（x）=log_0.5（x²-ax+3a）的值域为R，可得函数t=x²-ax+3能取遍所有的正数，故有△=a²-12a≥0，由此解得a的范围．

解答：解：根据函数f（x）=log_0.5（x²-ax+3a）的定义域为R，可得x²-ax+3a＞0恒成立，故有△=a²-12a＜0，解得 0＜a＜12，
则实数a的取值范围为（0，12），
故答案为 （0，12）．
根据函数f（x）=log_0.5（x²-ax+3a）的值域为R，可得函数t=x²-ax+3能取遍所有的正数，故有△=a²-12a≥0，解得 a≤0，或 a≥12，
即a的范围是（-∞，0]∪[12，+∞），
故答案为 （-∞，0]∪[12，+∞）．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，属于中档题．