Question

如图，ADB为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变
（1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（2）过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设

|DM|

|DN|

=λ，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，由已知条件判断该曲线为椭圆，由所给条件易求a，b，c值；
（2）分两种情况进行讨论：直线存在斜率k时，设直线方程，与椭圆联立方程组，根据判别式可求得k的范围，用韦达定理及

|DM|

|DN|

=λ可得λ与k的关系式，借助k的范围即可求得λ范围，注意M点位于中间；当直线不存在斜率k时，易求λ值，综上即可求得范围．

解答：解 （1）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，?
∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2

22+12

=2

5

＞|AB|=4，
∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆，设其长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则2a=2

5

，
∴a=

5

，c=2，b=1，∴曲线C的方程为

x2

5

+y²=1；
（2）当直线存在斜率时，设直线l的方程为y=kx+2，代入

x2

5

+y²=1，
得（1+5k²）x²+20kx+15=0，△=（20k）²-4×15（1+5k²）＞0，得k²＞

3

5

，
由图可知

DM

DN

=

x1

x2

=λ，由韦达定理得

x1+x2=- 20k 1+5k2 x1•x2= 15 1+5k2

，
将x₁=λx₂代入得

(1+λ)2x22= 400k2 (1+5k2)2 λx22= 15 1+5k2

，
两式相除得

(1+λ)2

λ

=

400k2

15(1+5k2)

=

80

3(5+ 1 k2 )

∵k2＞

3

5

，
∴0＜

1

k2

＜

5

3

，∴5＜

1

k2

+5＜

20

3

，∴4＜

80

3(5+ 1 k2 )

＜

16

3

，即4＜

(1+λ)2

λ

＜

16

3

，
∴解得

1

3

＜λ＜3，∵λ=

x1

x2

=

DM

DN

，M在D、N之间，∴λ＜1，
当直线不存在斜率时，易知λ=

DM

DN

=

1

3

（此时直线与y轴重合），
综上，

1

3

≤λ＜1..

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆标准方程的求解，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大．